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同時(shí)這樣決定了，對(duì)你以后的成就也會(huì)有很大的影響。
我覺(jué)得最不好的就是你對(duì)數(shù)學(xué)有興趣，卻為了賺錢(qián)就跑到其他科目，其實(shí)你也不見(jiàn)得賺得到錢(qián)。這是講你的決心要下得很大，不要三心二意，“讓我念念看，假如不行的話再轉(zhuǎn)”，很多人是這個(gè)樣子，尤其是中國(guó)學(xué)生，進(jìn)了大學(xué)再試試；看嘛，這兒不行就轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，最后搞得兩邊都不如愿，很多人是這個(gè)樣子，為什么一定要這樣?
這是決心的問(wèn)題，一個(gè)很重要的決定，就是你進(jìn)數(shù)學(xué)系時(shí)，你預(yù)計(jì)要做什么事情，對(duì)我自己來(lái)講，我很早就下了決心我要念數(shù)學(xué)，所以從來(lái)沒(méi)有想過(guò)要轉(zhuǎn)其他的或是為了其他事情不念數(shù)學(xué)。
你決定了以后，你要懂得數(shù)學(xué)有很多不同門(mén)，就是分支，你在大學(xué)，對(duì)每一門(mén)分支的了解可能差得遠(yuǎn)。就是講你很難在大學(xué)里就決定對(duì)數(shù)學(xué)里哪一門(mén)興趣大一點(diǎn)。
其實(shí)興趣和你懂得的學(xué)問(wèn)是有關(guān)系的，因?yàn)槟憧赡軐?duì)某件東西有興趣，不過(guò)你不曉得它時(shí)，你就不可能對(duì)它有興趣。譬如你去爬山，你爬過(guò)了小山才看得到大山，你還沒(méi)有看到后面的山以前，就不可能對(duì)后面的山有興趣，所以所謂興趣和你了解多少是一種非線性的關(guān)聯(lián)。
這個(gè)興趣和你當(dāng)時(shí)的地理環(huán)境有關(guān)系，跟當(dāng)時(shí)的時(shí)間也很有關(guān)系，就是和當(dāng)時(shí)的時(shí)空關(guān)聯(lián)很大。譬如來(lái)講，因?yàn)槟銊偤迷谂_(tái)灣，你旁邊的教授若是單做那一行的，你對(duì)其他行就不見(jiàn)得曉得。就整個(gè)世界來(lái)講，雖然你剛好走到某個(gè)地方，也許時(shí)間剛好不對(duì)，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家對(duì)這一方面興趣不大，對(duì)其他問(wèn)題興趣大一點(diǎn)，并不表示其他問(wèn)題就不重要。所以數(shù)學(xué)家對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的了解，跟時(shí)空有關(guān)，興趣也會(huì)跟這個(gè)有關(guān)。
我覺(jué)得一個(gè)年輕的學(xué)生，首先要開(kāi)放心胸，就是講你要曉得，你念的學(xué)科，有很多時(shí)候跟其他的學(xué)科關(guān)系很大，不要以為我念的這門(mén)學(xué)科跟其他的完全無(wú)關(guān)，其他的就不念了。例如很多學(xué)生，說(shuō)對(duì)某些文學(xué)課有興趣，凡跟這門(mén)文學(xué)沒(méi)，有關(guān)系的，就不再想去念它。比如講我對(duì)泛函分析有興趣，跟泛函分析關(guān)系不大的，就算有一點(diǎn)關(guān)系我也不想去看，這是一個(gè)錯(cuò)誤的觀念。其實(shí)泛函分析跟偏微分方程及很多不同的理論有關(guān)。大學(xué)是一個(gè)通才教育，就算你單對(duì)代數(shù)有興趣，除了代數(shù)要懂以外，對(duì)微積分也要懂，其實(shí)微積分對(duì)代數(shù)也有很大的影響。所以基本上大學(xué)所能提供的課程，我覺(jué)得你們年輕人都應(yīng)該去學(xué)，不單要學(xué)，而且要盡量學(xué)好。
基礎(chǔ)打好，對(duì)研究幫助很大
很難想像有什么大學(xué)課程在研究院是不重要的，你在大學(xué)里念的每一門(mén)課，和以后研究都有很大的關(guān)系，我想關(guān)系是絕對(duì)有的，就算在研究院里一兩年的課，我想對(duì)你以后的研究也是有很大的好處的，所以應(yīng)該盡量將基礎(chǔ)打好。其實(shí)到你真的做研究時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)你需要很多工具，很不幸，很多東西你在念大學(xué)、念研究院時(shí)沒(méi)有好好地念好。到了念博士那個(gè)時(shí)候，你常常要趕寫(xiě)論文什么的，你發(fā)現(xiàn)工具已不夠，要花很多時(shí)間去念，工具不夠又不想去念，你就很麻煩。畢業(yè)拿個(gè)博士以后，你又有很多不同的其他壓力，臺(tái)灣比較少，至少在美國(guó)是很大的，你要盡量發(fā)表文章，一下子沒(méi)有那么多時(shí)間將那門(mén)工具重新再念過(guò)。一所以念大學(xué)跟研究院那兩年的時(shí)候，要盡量將所有基本工具全部念懂，我想這是很有必要的。
譬如來(lái)講，我很多朋友是代數(shù)幾何做得很好，可是需要用到分析做工具時(shí)，他們就覺(jué)得很怕，反過(guò)來(lái)講，分析念得很好，可是需要代數(shù)時(shí)就很怕。不過(guò)我覺(jué)得一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，至少要懂得兩門(mén)以上的數(shù)學(xué)分支。當(dāng)題目來(lái)的時(shí)候不會(huì)恐懼，才能很活躍地做一個(gè)好研究。
一門(mén)學(xué)科你要念到什么地步?你自己要曉得。就是講你遇到一個(gè)研究課題的時(shí)候，你雖然不見(jiàn)得能夠解決掉，至少你要曉得你可以坐下來(lái)對(duì)這個(gè)問(wèn)題一產(chǎn)生一些想法，同時(shí)可以找這方面的文獻(xiàn)，將它基本的術(shù)語(yǔ)弄懂。曉得怎么去攻進(jìn)這個(gè)問(wèn)題，然后開(kāi)始解這個(gè)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題不一定能夠解決，不過(guò)至少你不覺(jué)得不著邊際，曉得怎么去對(duì)付這個(gè)問(wèn)題。要做到這個(gè)地步，其實(shí)是要懂很多東西，要經(jīng)過(guò)相當(dāng)久的訓(xùn)練才能夠達(dá)到這個(gè)地步。
因?yàn)槲覀兡芰τ邢�，一個(gè)人不可能每門(mén)都懂，不是我們不想，可是當(dāng)一個(gè)題目來(lái)的時(shí)候，我們往往會(huì)產(chǎn)生很多不同的相關(guān)問(wèn)題，這個(gè)題目并不見(jiàn)得正好是我們熟悉的領(lǐng)域，我們希望能夠找文獻(xiàn)或至少找個(gè)適當(dāng)?shù)淖鲅芯康娜�，�?wèn)他們一碰到這個(gè)問(wèn)題時(shí)要怎么對(duì)付。
所以你們?cè)诖髮W(xué)或研究院要懂得怎么發(fā)問(wèn)，這是個(gè)很重要的基本功訓(xùn)練。一發(fā)問(wèn)的訓(xùn)練，從小的方面來(lái)講就是問(wèn)老師或同學(xué)，從大的來(lái)講，就是自己做一些比較起來(lái)還沒(méi)有人問(wèn)過(guò)的問(wèn)題。一個(gè)好的數(shù)學(xué)家跟差的數(shù)學(xué)家，往往決定于你一問(wèn)的問(wèn)題有沒(méi)有意思，是不是重要的問(wèn)題。你要做到后來(lái)成為一個(gè)專家的時(shí)候，才曉得你問(wèn)的問(wèn)題有沒(méi)有意思。
不過(guò)對(duì)你們年輕人來(lái)講，問(wèn)一些你自己認(rèn)為有意思的問(wèn)題是一個(gè)很好的訓(xùn)練，你問(wèn)的問(wèn)題可能是專家們熟知的或是人家已經(jīng)解決了的，其實(shí)也沒(méi)有什么關(guān)系，問(wèn)問(wèn)題是一個(gè)很重要的訓(xùn)練，并不容易，不過(guò)你要盡量在這方面自己訓(xùn)練自己。
我想你們大學(xué)念到一年級(jí)、二年級(jí)時(shí)，應(yīng)當(dāng)通過(guò)跟同學(xué)討論來(lái)訓(xùn)練自我，也要通過(guò)向老師問(wèn)問(wèn)題來(lái)訓(xùn)練自己。
我不曉得你們清華的同學(xué)間，彼此討論的情況怎么樣?我覺(jué)得這很重要的。無(wú)論是懂的問(wèn)不懂的人來(lái)講，或是不懂的問(wèn)懂的人，這兩方面都有很大的好處。
你自己不懂的問(wèn)題去問(wèn)很懂的人，當(dāng)然對(duì)你自己有好處。反過(guò)來(lái)講，你自己很懂跟不懂的人解釋自己懂的東西，也是一個(gè)很好的訓(xùn)練。因?yàn)橥覀冋J(rèn)為很懂的東西，在向別人解釋時(shí)，才發(fā)現(xiàn)自己其實(shí)不懂。向?qū)Ψ浇忉寯?shù)學(xué)命題時(shí)(一般來(lái)講，你大學(xué)讀到的是比較已知的命題)，往往會(huì)發(fā)現(xiàn)本來(lái)以為對(duì)的解釋原來(lái)是錯(cuò)的。所以無(wú)論是你自己覺(jué)得自己學(xué)問(wèn)不大好的，或是自己學(xué)問(wèn)做得很好的，我覺(jué)得互相討論對(duì)雙方都有好處。
高年級(jí)同學(xué)比較知道，在看課外書(shū)或是參考書(shū)時(shí)，前面的第一章，覺(jué)得很容易，第二章也很容易，到第三章可能模糊，到第四章時(shí)好像很形式化，并不懂什么意思。為什么會(huì)產(chǎn)生這種現(xiàn)象呢?這很簡(jiǎn)單，因?yàn)榈谝徽卤容^淺一點(diǎn)，你是真的看懂了，第二章其實(shí)你不懂，你就跳過(guò)去了。這個(gè)證明沒(méi)看懂，但自以為，大概這樣就對(duì)了。越看越多時(shí)，前面知識(shí)越累積向后面，錯(cuò)就越來(lái)越多，到了最后時(shí)，根本就沒(méi)辦法控制。
假如你看一本書(shū)時(shí)，你對(duì)一個(gè)人講，甚至對(duì)一個(gè)黑板講也可以。對(duì)其他同學(xué)講，不單有意思，而且同學(xué)往往會(huì)問(wèn)你些問(wèn)題，讓你曉得你什么地方是沒(méi)有搞清楚的，經(jīng)過(guò)整個(gè)過(guò)程以后，你會(huì)曉得什么地方你懂，什么地方你不懂。所以我們往往鼓勵(lì)學(xué)生一定要教書(shū)。
我們做研究的人也一樣，一定要教書(shū)，不能夠單單做研究就算了，不用教書(shū)。教書(shū)的好處跟剛才講的一樣，你在講自己的研究的時(shí)候，或者在講一個(gè)命題時(shí)，你往往一路講一路發(fā)覺(jué)自己有什么不足的地方。你不講自己的研究，你發(fā)覺(jué)你好像很模糊搞不清楚；當(dāng)你向別人講時(shí)，一點(diǎn)一滴講出來(lái)，你就曉得自己在哪方面不足，中間的聯(lián)系，并不是你想像的那么完善。常常因?yàn)槲覀儼l(fā)覺(jué)研究不夠完善，所以我們還要繼續(xù)向前做研究。假如研究都是充足的話就可以告一段落了。
所以同學(xué)跟同學(xué)間，同學(xué)跟老師間的討論，我想都是很重要的。
任何一門(mén)科學(xué)，包括數(shù)學(xué)，都不能說(shuō)已經(jīng)發(fā)展得很完善了，在每一個(gè)層次上我們都可以問(wèn)一些很重要的問(wèn)題�；旧蠑�(shù)學(xué)里即使很簡(jiǎn)單的學(xué)問(wèn)，你也可以問(wèn)出很重要的問(wèn)題，這些問(wèn)題你并不一定能夠解決，你可以跟老師或者跟同學(xué)討論。
不過(guò)你在問(wèn)問(wèn)題時(shí)，可以將自己的整個(gè)思想、思考搞清楚，這是一個(gè)很重要的訓(xùn)練，我很鼓勵(lì)你們盡量去問(wèn)一些問(wèn)題。
我覺(jué)得很得意的，就是我從很早的時(shí)候，就常問(wèn)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題。我在中學(xué)時(shí)開(kāi)始問(wèn)一些問(wèn)題，自己看有沒(méi)有辦法解決。
其中有一個(gè)問(wèn)題，我考慮了一年：給一個(gè)三角形多少數(shù)據(jù)，就可以完全決定一個(gè)三角形呢?普通給定三個(gè)數(shù)據(jù)，例如一條邊兩個(gè)角(ASA)或三條邊(SSS)，都可以決定三角形，假如給的是三個(gè)分角線的長(zhǎng)又如何呢?三角形的數(shù)據(jù)一般有邊長(zhǎng)、角度、分角線長(zhǎng)、中垂線長(zhǎng)等等，隨便抽三個(gè)出來(lái)是否就能決定一個(gè)三角形?
你試試看，大部分的都能解，只有一兩個(gè)不能解。我中學(xué)的時(shí)候研究過(guò)這個(gè)問(wèn)題，考慮了一年多，最后發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題并不簡(jiǎn)單。我小時(shí)候坐火車，在火車上都在想，最后看了一本參考書(shū)才知道能不能解，不過(guò)整個(gè)過(guò)程對(duì)我的思考幫助很大。
從前是二年級(jí)的時(shí)候開(kāi)始念平面幾何，我在三年級(jí)的時(shí)候開(kāi)始想這個(gè)問(wèn)題，還有很多比這個(gè)問(wèn)題更復(fù)雜的問(wèn)題，所以在最簡(jiǎn)單最平凡的問(wèn)題中你可以找到很多有意思的問(wèn)題問(wèn)自己。
問(wèn)題并不少，在自然界里或數(shù)學(xué)中問(wèn)題多得不得了，問(wèn)題是自己去找或如何去找。這個(gè)要自己訓(xùn)練，方法很多，要自己努力，同時(shí)要跟別人多來(lái)往。訓(xùn)練要花很多工夫，就是問(wèn)，從早到晚你究竟花了多少工夫在那里?你要?jiǎng)幽X筋，不是隨便講兩句就行了。
做學(xué)問(wèn)用功很重要
我從前有一個(gè)博士生，資質(zhì)不錯(cuò)，想法也不錯(cuò)，我跟他說(shuō)你一天,最少要花六個(gè)鐘點(diǎn)在數(shù)學(xué)上面想論文，他說(shuō)不行，后來(lái)他也沒(méi)有再做下去了。我不曉得你們能不能坐六個(gè)小時(shí)想數(shù)學(xué)，或看數(shù)學(xué)?做學(xué)問(wèn)全神貫注很重要，假如你覺(jué)得不能全身心投入的話，你干脆不要念數(shù)學(xué)算了。
從前我大學(xué)畢業(yè)后，我一天最少有十個(gè)多鐘頭在想數(shù)學(xué)，你并不一定要這樣子，不過(guò)你至少要花一定工夫的鉆研才能做一個(gè)好的數(shù)學(xué)家。你愿意花很多工夫以后我想你一定會(huì)有收獲。
當(dāng)然，一個(gè)好數(shù)學(xué)家，除了用功之外，也要有一些運(yùn)氣在里面，聰明很有影響，你們能考上清華，聰明應(yīng)該不會(huì)差太遠(yuǎn)，真正重要的，還是全神貫注的能力。
從前，我們?cè)谥袊?guó)香港長(zhǎng)大，很想看參考書(shū)，但又貴又不容易找到。你們現(xiàn)在在清華，我想，你們要找什么都找得到，要找些比較好的研究員來(lái)跟你們講東西，現(xiàn)在也容易多了，所以我想主要是你們能不能夠做，最好不要找借口。
在國(guó)外很多大的學(xué)校，學(xué)生很多，不大容易找到好的老師，研究的機(jī)會(huì)可能也比這邊少得多，我讀大學(xué)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)就是這樣，主要是你肯用功。
做學(xué)問(wèn)是靠自己，做研究也靠自己。一般來(lái)講，你到一個(gè)學(xué)校，剛好跟你做同一行的很少很少，頂多兩三個(gè)而已�；旧鲜强孔约骸Ｔ谂_(tái)灣參考書(shū)都有了，不一定要靠別人，要有發(fā)動(dòng)自己的能力，自己肯問(wèn)問(wèn)題，單靠自己應(yīng)該不會(huì)差太遠(yuǎn)的。
所以你一旦做決定后，你要享受做數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，好比下棋，假若對(duì)下棋沒(méi)有興趣，被逼去下棋就很痛苦，可是你對(duì)下棋有興趣的話，你越下越有意思，下到困難的地方更有意思，做數(shù)學(xué)也是一樣，碰到困難的問(wèn)題更有意思，所以一定要建立興趣。
興趣是要培養(yǎng)的。如果你問(wèn)一個(gè)小學(xué)生：“你對(duì)微積分有沒(méi)有興趣?”你當(dāng)然可以講他對(duì)微積分沒(méi)有興趣，因?yàn)樗静欢⒎e分。
同樣的意思，如果我問(wèn)你對(duì)微分幾何有多大的興趣，在你還沒(méi)有開(kāi)始做之前，你當(dāng)然不曉得，因?yàn)槟愀静欢⒎謳缀�。這其實(shí)是很空洞的問(wèn)題，不能講我現(xiàn)在有興趣，或我現(xiàn)在沒(méi)興趣。不過(guò)到你真的做進(jìn)去以后，你才發(fā)現(xiàn)你對(duì)它有很大的興趣。
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