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僅這種意義上說，他討論的東西多少有點(diǎn)過時(shí)。可是，科學(xué)與時(shí)裝不同，它并不趕時(shí)髦�？茖W(xué)與技術(shù)不同，它不能只把最新的拿來就行。科學(xué)，尤其是數(shù)學(xué)，它的過去對(duì)我們今天仍有重大意義。M·克萊因就是在一種充滿新解的不確定性的世界中探討這種老掉牙的確定性的喪失。當(dāng)代玩電腦、上網(wǎng)絡(luò)的青年，讀這本書有點(diǎn)像中學(xué)生聽爺爺奶奶講反右、三年困難乃至文革等等。然而，只有他們理解歷史，也許才能成長(zhǎng)，才能成熟，才能理解現(xiàn)在和未來。
M·克萊因已經(jīng)在1992年去世。他生于1908年，是位應(yīng)用數(shù)學(xué)家，長(zhǎng)期在紐約的應(yīng)用數(shù)學(xué)中心——著名的庫(kù)朗研究所工作。他研究的是電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)物理學(xué)，這在物理學(xué)和數(shù)學(xué)中都是經(jīng)典的，也是最確定的科學(xué)�？墒侵浪麘�(yīng)用數(shù)學(xué)的工作的人并不多，他的大名實(shí)際上是靠他的數(shù)學(xué)史及數(shù)學(xué)概述的著作。國(guó)內(nèi)有些人知道他可能完全靠他那1200頁(yè)的巨著《古今數(shù)學(xué)思想》的中譯本。這本書概述了從古到1930年左右的數(shù)學(xué)史，可能在它1972年出版之后50年到100年難找到更好的競(jìng)爭(zhēng)者。對(duì)于一位應(yīng)用數(shù)學(xué)家，這種歷史的淵博實(shí)在令人吃驚。他還寫過《西方文化中的數(shù)學(xué)》(1953)，《數(shù)學(xué)與物理世界》(1959)，《數(shù)學(xué)與知識(shí)的探求》(1983)等著作。這些書在西方都擁有龐大的讀者群。
他寫《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》時(shí)，已經(jīng)是70高齡了，我們當(dāng)然不能指望他對(duì)當(dāng)時(shí)的時(shí)髦課題有所涉及，更不必提對(duì)今后的展望了。我們指望他把這個(gè)經(jīng)典課題寫好，在這個(gè)題材范圍之內(nèi)，他的確講述得十分精采。
《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》一書除引言外，共有15章，可以分為三個(gè)部分：前3章是第一部分，講數(shù)學(xué)真理的起源、數(shù)學(xué)真理的繁榮和科學(xué)的數(shù)學(xué)化；中間9章是論述數(shù)學(xué)確定性喪失的各個(gè)方面，首先從第一場(chǎng)災(zāi)難，真理的喪失講起，其實(shí)是非歐幾何沖擊歐氏幾何的絕對(duì)權(quán)威，其次4章是講邏輯學(xué)科不合邏輯的發(fā)展：無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)及數(shù)的擴(kuò)張(負(fù)數(shù)、虛數(shù))，很難找到邏輯基礎(chǔ)。接著是微積分帶來的分析的困境，由此導(dǎo)致19世紀(jì)對(duì)分析嚴(yán)密性的懷疑和批判，最后達(dá)到19世紀(jì)末分析的嚴(yán)格化，好像走進(jìn)了天堂之門。第9到12章講進(jìn)入天堂后數(shù)學(xué)面臨更大的危機(jī)。由于集合論悖論和其它邏輯悖論的出現(xiàn)，數(shù)學(xué)面臨第三次危機(jī)，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)行一場(chǎng)大辯論，邏輯主義、直覺主義、形式主義各派提出了各自的觀點(diǎn)來解決基礎(chǔ)危機(jī)。然而，1930年哥德爾不完全性定理的發(fā)表把危機(jī)推向高潮，作者以“災(zāi)難”一詞，結(jié)束了他關(guān)于確定性喪失的論述。他把自己的論述，停留在1930年的時(shí)點(diǎn)，然后，就完全以悲觀的論調(diào)進(jìn)入第三部分，第13、第14、第15章。他的觀點(diǎn)可由這三章的標(biāo)題看出來，“數(shù)學(xué)的孤立”，“數(shù)學(xué)向何處去”，“自然的權(quán)威”。在這里我們又看到他作為應(yīng)用數(shù)學(xué)家的身影。他的觀點(diǎn)很明確——走回頭路，讓數(shù)學(xué)回到經(jīng)驗(yàn)，回到自然，重視應(yīng)用，去掉那種孤芳自賞的抽象、推廣、存在性的證明以及嚴(yán)格性的探討，至少要把它們壓縮到最低限度。
作為歷史家和作家，他的論述深入淺出，十分生動(dòng)，筆者認(rèn)為非常值得推薦給希望提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的讀者閱讀。但是，他的哲學(xué)論點(diǎn)和數(shù)學(xué)觀卻未免過時(shí)。誠(chéng)然，1930年以后仍然不斷地有關(guān)數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的論述，甚至到90年代中期還有關(guān)于“理論數(shù)學(xué)”的一場(chǎng)大論戰(zhàn)，可是有多少人關(guān)心它，它又對(duì)數(shù)學(xué)及科學(xué)的發(fā)展有多大影響呢?
到底我們?nèi)绾慰创巳R因所說的數(shù)學(xué)的不確定性呢?筆者以為，1930年以后的發(fā)展的確會(huì)給我們一些啟示。事情決不像克萊因想像的那么悲觀。實(shí)際上，原來我們可以控制的那部分?jǐn)?shù)學(xué)仍然是確定的。正如人們常說2×2永遠(yuǎn)等于4，這是顛撲不破的真理�？墒�，數(shù)學(xué)發(fā)展有賴于把已知的事實(shí)推向未知，把特殊的結(jié)果推向一般。數(shù)學(xué)中的這種推廣，特別是把有窮推廣到無窮，總是帶來確定性的喪失。這是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)史的一條紅線。在這種情況下，必定產(chǎn)生我們的方法是否合理、是否嚴(yán)格的問題。對(duì)此，歷史上常常有兩種極端的態(tài)度：一種是保守的態(tài)度，也就是固定不變的原教旨主義，一種是激進(jìn)的態(tài)度，也就是向前看，不斷推廣，不斷革新。前者雖然保險(xiǎn)，但無助于發(fā)展數(shù)學(xué)，后者總是冒風(fēng)險(xiǎn)，免不了帶來一個(gè)又一個(gè)矛盾，這就是確定性的喪失。從歷史上看，后者總是取得勝利，它不僅使我們開創(chuàng)出前所未有的大量數(shù)學(xué)，而且通過矛盾的發(fā)現(xiàn)和化解，使我們更深刻地認(rèn)識(shí)我們能力或我們方法的限度，并且對(duì)開辟的新領(lǐng)域進(jìn)行方法上的開發(fā)。歐氏幾何向非歐幾何擴(kuò)展的歷史正好說明這點(diǎn)。非歐幾何的出現(xiàn)不僅結(jié)束了歐氏幾何是唯我獨(dú)尊的絕對(duì)幾何的局面，而且列舉了“所有可能的”幾何，這樣使得數(shù)學(xué)由一門自然科學(xué)或物理科學(xué)真正轉(zhuǎn)變?yōu)槟Ｊ交蛐问娇茖W(xué)。不僅如此，它還使我們空間觀念大為變革，并為相對(duì)論的發(fā)展提供有效的方法和工具。
哥德爾不完全性定理打破希爾伯特綱領(lǐng)的美夢(mèng)。他明顯地區(qū)別開真理性和可證明性。他造出一個(gè)數(shù)論真命題在一個(gè)包含初等算術(shù)的公理系統(tǒng)中不能證明�？墒撬拿}并不是一個(gè)自然的數(shù)論或數(shù)學(xué)命題。到70年代和80年代，的確有人證明一些自然的數(shù)論問題和組合問題在初等算術(shù)系統(tǒng)中是不能證明的。
1930年以后，雖然數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的討論仍在進(jìn)行，可是大多數(shù)數(shù)學(xué)家對(duì)此并不關(guān)心。正如狄奧多涅所說：“沒有什么人對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題感興趣，除非他專搞那一行�！本瓦B數(shù)理邏輯也成為數(shù)學(xué)的一門獨(dú)立的分支，發(fā)展成證明論、模型論、公理集合論和遞歸論四大塊，成為十分專門的領(lǐng)域；它們的發(fā)展直接推動(dòng)數(shù)學(xué)尤其是計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展。特別是可計(jì)算性理論和圖靈機(jī)更是當(dāng)代計(jì)算機(jī)時(shí)代的理論基石，而且由于數(shù)理邏輯的發(fā)展，使用數(shù)理邏輯方法解決了不少數(shù)學(xué)問題，由“不確定性”得出確定性的結(jié)果。另一方面，由于數(shù)理邏輯的方法，我們也知道了“確定性”的界限。例如希爾伯特在1900年提出的著名的23個(gè)問題，其中第10問題就是是否有一個(gè)判定方法判定丟番圖方程是否有解。1970年已經(jīng)證明這個(gè)問題的答案是否定的。這當(dāng)然也是一個(gè)“不確定性”的結(jié)果�？墒沁M(jìn)一步研究指出，一次、二次丟番圖方程是否有解是可以判定的，但四次和四次以上丟番圖方程則不可決定。因此當(dāng)前一個(gè)未解決大問題是3次丟番圖方程的判定問題。
哥德爾不完全性定理也對(duì)作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的集合論提出挑戰(zhàn)。在通用的公理集合論ZF中，希爾伯特第1問題也就是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)CH是否成立，結(jié)果是CH在ZF中既不能證明也不能反證，這樣就出現(xiàn)“不確定性”。對(duì)于希望進(jìn)一步有“確定性”的數(shù)學(xué)家，如哥德爾，就提出哥德爾綱領(lǐng)，他希望加進(jìn)一些“大基數(shù)公理”，使得原來不確定的問題有一個(gè)確定的解答。對(duì)于形式主義數(shù)學(xué)家，如柯恩，就提出非歐幾何式的方案，把CH作為公理，加進(jìn)ZF的集合論稱為康托爾集合論，而把CH的否定作為公理加進(jìn)ZF的集合論，就稱為非康托爾集合論。非康托爾集合論又可以分許多種，這樣使數(shù)學(xué)大大豐富起來。不管怎么樣，“不確定性”都不是一件壞事。
M·克萊因在把確定性喪失看成災(zāi)難之后，又在最后三章深挖原因，認(rèn)為這是由于數(shù)學(xué)的孤立，特別是同經(jīng)驗(yàn)和自然的脫離。遺憾的是，無論從邏輯上講，還是從歷史上講，情況都不是這樣。18世紀(jì)之前，特別是科學(xué)革命時(shí)期，數(shù)學(xué)與科學(xué)的發(fā)展的確互相促進(jìn)，相得益彰。到了19世紀(jì)之后，由于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的擴(kuò)展，數(shù)學(xué)與自然科學(xué)，純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)有著某種程度的分離，而且專業(yè)化也日益明顯，數(shù)學(xué)也逐步發(fā)展成其有自己獨(dú)特的對(duì)象，獨(dú)特的理論與獨(dú)特方法的學(xué)科。誰(shuí)也不否認(rèn)，歸根結(jié)底，數(shù)學(xué)的對(duì)象來源于現(xiàn)實(shí)世界。但是，從這時(shí)起，由最原始的對(duì)象經(jīng)過抽象、推廣(一般化)、公理方法等產(chǎn)生出豐富多彩的數(shù)學(xué)對(duì)象和理論分支，如集合論、群論、抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析等等，它們都走上獨(dú)自發(fā)展的道路，看來與自然科學(xué)和社會(huì)實(shí)際脫離越來越遠(yuǎn)，而且從外行人看，真不知搞的什么名堂。
然而，從70年代起，正是這些現(xiàn)代的數(shù)學(xué)在物理學(xué)與其它科學(xué)上又大有用武之地。從70年代楊(振寧)—未爾斯場(chǎng)與微分幾何和拓?fù)浣⒘寺?lián)系之后，孤立子解與代數(shù)幾何也建立密切關(guān)系。整個(gè)純粹數(shù)學(xué)和理論物理形成一個(gè)大統(tǒng)一的局面，數(shù)學(xué)物理之間的密切關(guān)系遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過經(jīng)典的數(shù)學(xué)和物理學(xué)。例如量子場(chǎng)論與算子代數(shù)與扭結(jié)理論相互推動(dòng)，繼而又產(chǎn)生量子群等熱門理論。到90年代，超弦理論與拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何等前沿?cái)?shù)學(xué)相結(jié)合，成為四種力的統(tǒng)一理論的最佳候補(bǔ)者。按照弦論，我們的時(shí)空不只四維，而是十維，除了可感到的四維之外，還有六維是所謂代數(shù)三維簇，現(xiàn)在稱為卡拉比—丘(成桐)流形，這種流形現(xiàn)在是當(dāng)前一大熱門。它有成千上萬種，分類問題極為困難，但這也顯示我們的宇宙有可能多么豐富多彩。然而，沒有數(shù)學(xué)理論，永遠(yuǎn)無法探索到自然界的如此奧妙。其實(shí)，從20世紀(jì)初期，數(shù)學(xué)已經(jīng)不是科學(xué)的婢女了，它由數(shù)學(xué)自身的問題出發(fā)，早已經(jīng)為物理學(xué)的革命理論——廣義相對(duì)論，量子物理學(xué)，分子原子結(jié)構(gòu)，核物理，基本粒子物理，準(zhǔn)備好現(xiàn)成的數(shù)學(xué)工具，它們分別是黎曼幾何學(xué)、泛函分析和群論。時(shí)至今日，幾乎整個(gè)的抽象數(shù)學(xué)，特別是拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何學(xué)、代數(shù)數(shù)論，動(dòng)力系統(tǒng)理論等等，都在應(yīng)用上發(fā)揮著不可或缺的作用，數(shù)學(xué)正在成為科學(xué)發(fā)展的帶頭羊。而這都是在數(shù)學(xué)的確定性不斷喪失、數(shù)學(xué)學(xué)科日益孤立的發(fā)展情況下產(chǎn)生的。M·克萊因的悲觀是毫無根據(jù)的。
反觀數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，困難仍然存在，危機(jī)并未消除。不過，本書所講的這種有3000年歷史的最古老的不確定性并沒有擋住我們前進(jìn)的步伐，我們又何必為有朝一日數(shù)學(xué)大廈可能倒塌而杞人憂天呢。數(shù)學(xué)中確定性喪失的歷史只告訴我們，數(shù)學(xué)確定性并非是完全是絕對(duì)的確定性，而在多數(shù)情形下是一種相對(duì)的確定性。但這同物理學(xué)的相對(duì)確定性還不一樣，物理世界或現(xiàn)實(shí)世界出了問題，例如地球遭到小行星碰撞，在想到其它辦法之前，也許只有等死。而數(shù)學(xué)卻是關(guān)于可能世界的科學(xué)，某些地方出了問題，數(shù)學(xué)家總會(huì)想出辦法來解決它。歷史可為我作證，對(duì)此，M·克萊因的書非常值得一讀。
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